Ábaco neperiano

Un ábaco es un objeto que sirve para realizar operaciones aritméticas manualmente. El mas conocido, o almenos el único que conocia yo hasta hace poco, es el ábaco chino. Se trata de un marco rectangular en el que hay unos alfileres paralelos con cuentas. Para representar los números (enteros o decimales) se usa la base decimal. Cada alfiler representa una de las poténcias de 10: unidades, decenas, centenas, etc. Mejor una foto. Este ábaco permite hacer todas las operaciones (sumar, restar, multiplicar y dividir) y, los que tienen práctica, realizan los algoritmos a muy buena velocidad. De hecho, el 12 de noviembre de 1946 se realizó en Tokio una competición para ver si era más ràpido un ábaco o una calculadora. De las 5 pruebas que se hicieron, Kiyoshi Matsuzaki, que competia con el ábaco, solo perdio en la prueba de multiplicaciones.
Multiplicar es precisamente el objetivo del ábaco neperiano. El nombre se lo debemos, por supuesto, a John Napier, el mismo que descubrio los logaritmos. Napier creo las tablas de logaritmos, que nos permiten reducir el càlculo de potèncias a multiplicaciones y raízes a cocientes. Lo que permite su ábaco es reducir los productos a sumas y los cocientes a diferéncias. 

Àbac neperià

Para construir un ábaco de Neper necesitamos un tablero en el que pondremos las varitas neperianas. Fíjate en las varitas de la imagen de arriba (las líneas veritacales), ¿ves como estan construidas? Si, cada vara está dividida en 9 cuadrados i en cada cuadrado encontramos un múltiplo del número que hay arriba del todo. Cada uno de estos cuadrados esta dividido por una diagonal, en la parte superior encontramos las decenas del múltiple y en la inferior las unidades. Fíjate, por ejemplo, en la varita que tiene un 7 arriba del todo. En la primera casilla aparece escrito 07, en las segunda 14=7×2, en la tercera 21=7×3  y así hasta la última, en la que pone 63=7×9. Cada varita representa, pues, la tabla de multiplicar de un número. Vamos a necesitar varios juegos de varitas.

Una vez construido el ábaco (puedes hacerlo tu mismo con cartrones, con palos de helado o con los que usa el médico para mirarte el cuello), tenemos que aprender el algoritmo de multiplicación. La mejor manera de explicarlo es realizando un ejemplo. Queremos multiplicar 4138 por 5. Necesitamos una varita del 4, una del 1, una del 3 y una del 8. Las ponemos una al lado de la otra:

La última varita solo nos sirve como marcador. Es como la de la izquierda en el ábaco metálico de la primera imagen. Como queremos multiplicar por 5, nos tenemos que fijar en la fila indicada por el marcador. Y sumamos los números en diagonal:

Empezando por la derecha, el 0 es del primer triangulo. Luego, el 9 es 4+5 de la primera diagonal, en la segunda diagonal tenemos 5 + 1, de lo que obtenemos el 6.  Luego otro 0, de 0 + 0, y finalmente el 2 del último triangulo. El número que obtenemos, 20690, es el resultado del producto 4138×5.

Si queremos multiplicar por un número de mas cifras, por ejemplo, 4138×56, tenemos que repetir el proceso para cada cifra.  De hecho, es lo mismo que de la manera habitual, solo que aquí el ábaco nos ayuda a hacer cada paso de una forma más rápida en la cual solo tenemos que sumar. Empezemos por el 6, tenemos:

En este caso hemos hecho lo mismo, pero fíjate que al sumar 8+4=12 nos “tenemos que llevar” una unidad. Por lo tanto, 4138×6 = 24828. Ara lo tendriamos que hacer por 5, pero ya sabemos que da 4138×5=20690.

Finalmente, solo tenemos que hacer los mismo que cuando multiplicamos números de diversas cifras de la manera tradicional. Colocamos los resultados obtenidos, avanzando en cada caso una posición:

De hecho, cuando avanzamos una posición, lo que hacemos es multiplicar por 10 (si avanzamos n posiciones muliplicamos por 10^n). En este caso, lo que hacemos es 4138×6 + 4138x5x10 = 4138×6 + 4138×50, que por la propiedad distributiva de la suma y el producto obtenémos 4138×56.

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