Monedas infinitas

El infinito es un concepto complicado. Si nos queremos crear un conflicto cognitivo, desafiar la lógica y la intuición, lo mejor que podemos hacer es pensar en cosas en las que intervengan conjuntos infinitos. En este caso hablamos de un conjunto infinito de monedas. Evidentemente, no existe ningun conjunto infinito de monedas así que el problema que planteamos, la situación que vamos a describir, no es real y la solución que vamos a encontrar no nos aportará nada. Nada excepto pensar, reflexionar, contradecirnos. Y esto es siempre mucho mas importante que encontrar la solución del problema.

Pongámonos en situación. Estamos en una habitación donde hay un hombre que guarda las monedas y que te las ofrece, siempre y cuando lo hagas con su método. Lo primero que hay que hacer es numerar todas las monedas, la primera con un 1, despues un 2, despues un 3 y asi infinitamente. Por eso no hay que preocuparse ya que de números naturales hay infinitos. Pero no solo necesitamos un conjunto infinito de monedas, tambien vamos a necesitar una caja muy muy grande donde poner las monedas y un cronómetro. El cronómetro tampoco puede ser un cronometro normal, tiene que tener (y eso és lo importante de la situación) una presición infinita.

Ponemos el cronómetro a 0 y lo pararemos cuando llegue a 1 minuto, es decir, 60 segundos. ¡Empezemos! Tienes 30 segundos para poner dentro de la caja las monedas numeradas del 1 al 10. Paramos el cronómetro. Has de quitar la moneda número 1 de la caja y darsela al guardian. Seguimos. Ahora tienes la mitad del tiempos, es decir, 15 segundos, para poner dentro de la caja las monedas del 11 al 20. Otra vez, cuando se acabe el tiempo, le tienes que dar una moneda al guardian. En este caso, la moneda número 2. El proceso sigue infinitamente. Con la mitad del tiempo que nos queda ponémos 10 monedas en la caja y, despues, le damos la primera moneda. Ahora nos quedan 15 segundos así que durante los primeros 7,5 tenemos que poner dentro de la caja las monedas del 21 al 30 y luego sacar la moneda numero 3. En este momento, dentro de la caja tienes las monedas del 4 al 30. Pero el proceso sigue infinitamente, siempre igual, con la mitad del tiempo ponemos 10 monedas ordenadas y sacamos la moneda con el número más pequeño de todas las que hay en la caja. La pregunta que te hago ya te la debes imaginar: Cuantas monedas hay dentro de la caja cuando se acaba el tiempo?

 Antes de seguir leyendo, piensa en la respuesta. Como decia al principio, la gracia del problema es pensar en ello, reflexionar, crearnos un conflicto e intentar solucionarlo. Si has pensado durante un rato y no has encontrado ninguna respuesta no pasa nada, no has perdido el tiempo. ¡Has ganado todo el rato que has estado pensando! 

Despues de los primeros 30 segundos hay 9 monedas en la caja. Cuando han pasado 45 segundos, hay 18 monedas. A los 52,5 ya hay 27. Cuando llevemos 56 y tres cuartos de segundo, dentro de la caja habrá 36 monedas. En cada movimiento, hay 9 monedas mas dentro de la caja. Por lo tanto, nuestra intuición nos dice que cuando se acabe el minuto habrá infinitas monedas dentro de la caja.

Pero la intuición, en este cas, falla. ¡Dentro de la caja no quedará ninguna moneda! Escoge una moneda con un número cualquiera x (si te parece más fácil, haz el razonamiento con un número concreto.. el 5 o el 52313, cualquiera va bien). Esta moneda no puede estar dento de la caja ya que se la hemos dado al guardian en el paso x. Como esto funciona con cualquier número, no puede haber ninguna moneda dentro de nuestra caja. Recuerda que en el primer paso hemos sacado la moneda 1, en el segundo paso la moneda 2 y así sucesivamente.

Siempre estamos dividiendo el tiempo que nos queda en dos y, como tenemos un cronómetro con precisión infinita, podemos hacer infinitas divisiones. Así,podemos repetir el proceso infinitas veces. Si dentro de la caja hubiera una moneda esta tendria un número. Pongamosle x otra vez. No importa como de grande sea x ya que hacemos infinitos movimentos. En el paso x hemos sacado la moneda x, así que dentro de la caja no queda ninguna.

 * Este problema lo he extraido de Matemática..¿ Estás ahi ? Episodio 3,14  de Adrián Paenza. Aqui podéis bajaros todos los libros de la colección en formato .pdf de forma legal.

* Las fotos de los Dambo son de excomedia i de achew.

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